傅立叶变换

1 两种形式的傅立叶级数

直接给出复指数形式，并以此推出三角形式

$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}\\ 其中，a_k=\frac{1}{T}\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}\mathrm{d}t$

对于实周期信号，应当还有一种表示形式

$\because x^*(t)=x(t)\\ 利用共轭的积等于积的共轭，\\ \therefore \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a^*_ke^{-jk\omega_0t}\\ 将上式右侧按倒序写，\\ \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a^*_{-k}e^{jk\omega_0t}$

观察可得到实信号一有用结论：$a_k=a^*_{-k}$，亦即$a_{-k}=a^*_k$

$\begin{aligned} x(t)&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}\\ &=a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}(a_ke^{jk\omega_0t}+a_{-k}e^{-jk\omega_0t})\\ &=a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}(a_ke^{jk\omega_0t}+a^*_{k}e^{-jk\omega_0t})\\ &=a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}2\Re{\{a_ke^{jk\omega_0t}\}},\ 共轭复数实部相等 \end{aligned}$

若让$a_k=A_ke^{j\theta_k}$，则

$x(t)=a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}2\Re{\{A_ke^{j(k\omega_0t+\theta_k)}\}}\\ \therefore x(t)=a_0+2\sum_{k=1}^{+\infty}A_k\cos(k\omega_0t+\theta_k)$

若让$a_k=B_k+jC_k$，则

$x(t)=a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}2\Re{\{(B_k+jC_k)e^{jk\omega_0t}\}}\\ =a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}2\Re{\{(B_k+jC_k)(\cos(k\omega_0t)+j\sin(k\omega_0t))\}}\\ =a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}(B_k\cos(k\omega_0t)-C_k\sin(k\omega_0t))$

2 傅立叶级数的收敛

条件1 $x(t)$在任何周期内绝对可积

条件2 任何单个周期内，$x(t)$的最大值和最小值的数目有限

条件3 在$x(t)$的任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在这些不连续点上，函数是有限值

吉布斯现象：将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%。

3 连续时间傅立叶级数性质

$x(t),\ y(t)周期都为T, 傅立叶级数系数分别为a_k,\ b_k$

性质	周期信号	傅立叶级数系数	备注
线性	$Ax(t)+By(t)$	$Aa_k+Bb_k$
时移	$x(t-t_0)$	$a_ke^{-jk\omega_0t_0}$	$x(t-t_0)e^{-jk\omega_0t}=e^{-jk\omega_0t_0}x(t-t_0)e^{-jk\omega_0(t-t_0)}$,把积分变量变为$t-t_0$可得
频移	$e^{jM\omega_0t}x(t)$	$a_{k-M}$	$e^{jM\omega_0t}x(t)e^{-jk\omega_0t}=x(t)e^{-j(k-M)\omega_0t}$
共轭	$x^*(t)$	$a^*_{-k}$	参考上文证明
时间反转	$x(-t)$	$a_{-k}$	$\int_0^Tx(-t)e^{-jk\omega_ot}\mathrm{d}t=\int_0^Tx(u)e^{-j(-k)\omega_0u}\mathrm{d}u$
时域尺度变换	$x(\alpha t),\ \alpha>0$	$a_k$	下文单独给出证明，注意写成级数和原信号的指数项不同，因为基波频率变了
周期卷积	$\int_Tx(\tau)y(t-\tau)\mathrm{d}\tau$	$Ta_kb_k$	某些梯形波和三角波信号可用此性质
相乘	$x(t)y(t)$	$\sum_{l=-\infty}^{+\infty}a_lb_{k-l}$
微分	$\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}$	$jk\omega_0a_k$
积分	$\int_{-\infty}^tx(t)\mathrm{d}t$	$(\frac{1}{jk\omega_0})a_k$	前提$a_0=0$，否则不是周期函数
实信号	$x(t)$为实信号	$a_k=a^*_{-k}$，实部偶对称，虚部奇对称，模长偶对称，幅角奇对称	令$\Re\{a_k\}+j\Im\{a_k\}=\Re\{a_{-k}\}-j\Im\{a_{-k}\}$
实偶信号	$x(t)$为实偶信号	结合$a_{-k}=a_k=a^*_{-k}$	根据左侧，可以得到$a_k$是偶函数，且共轭相等，因此是实函数
实奇信号	$x(t)$为实奇信号	结合$a_{-k}=-a_{k}=a^*_k$	根据左侧，可以得到$a_k$是奇函数，且取共轭和取相反数相等，因此是纯虚的函数
	实信号奇偶分解	偶部$x_e(t)=(x(t)+x(-t))/2$，奇部$x_o(t)=(x(t)-x(-t))/2$	对应的傅立叶系数分别为$(a_k+a_{-k})/2=(a_k+a^*_k)/2$，$(a_k-a_{-k})/2=(a_k-a^*_k)/2$，显然，前者为实部，后者为虚部
	周期信号帕塞瓦尔定理	$\frac{1}{T}\int_T	x(t)

时域尺度变换：

$x(t)\rightarrow x(\alpha t)\ 会导致基波频率变为\alpha\omega_0\\ 傅立叶级数的系数为\\ \begin{aligned} a_k'&=\frac{1}{T/\alpha}\int_{T/\alpha}x(\alpha t)e^{-jk(\alpha\omega_0)t}\mathrm{d}t\\ &令\ u=\alpha t\\ &=\frac{\alpha}{T}\int_{0}^{T}x(u)e^{-jk\omega_0u}\frac{\mathrm{d}u}{\alpha}\\ &=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(u)e^{-jk\omega_0u}\mathrm{d}u\\ a_k'&=a_k\\ 然而写成傅立叶级数时, x(\alpha t)&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\alpha\omega_0t} \end{aligned}$

4 离散时间周期信号的傅立叶级数

门函数