电磁场的基本规律

2.1电荷守恒定律

2.1.1电荷与电荷密度

1.电荷密度

电荷体密度:ρ=dqdV, q=∫VρdV电荷面密度:ρS=dqdS, q=∫SρSdS电荷线密度:ρl=dqdl, q=∫lρldl\begin{aligned}电荷体密度&: \rho=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}V},\ q=\int_V\rho\mathrm{d}V \\ 电荷面密度&: \rho_S=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}S},\ q=\int_S\rho_S\mathrm{d}S \\ 电荷线密度&: \rho_l=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}l},\ q=\int_l\rho_l\mathrm{d}l \end{aligned}

2.点电荷空间中密度

ρ(r⃗, t)=q(t)δ(r⃗), 可类比冲激信号的作用,在某位置取值\rho(\vec{r},\ t)=q(t)\delta(\vec{r}),\ \\可类比冲激信号的作用, 在某位置取值

2.1.2电流与电流密度

1.电流定义

i(t)=dqdti(t)=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}

2.电流密度矢量

J⃗=en⃗didS, en⃗表示电流穿过的那个面的法向量,与电流在那一点同方向i(t)=∫SJ⃗dS在dt时间内,若垂直流过某面元dS的电荷量为dq,那么dq=ρdV=ρv⃗dS⃗=ρvdS(因为垂直流过)∴J⃗=ρv⃗ (将dS⃗除到dq下面)\vec{J}=\vec{e_n}\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}S},\ \\ \vec{e_n}表示电流穿过的那个面的法向量, 与电流在那一点同方向\\ \\ i(t)=\int_S\vec{J}\mathrm{d}S\\ \\ 在\mathrm{d}t时间内,若垂直流过某面元\mathrm{d}S的电荷量为\mathrm{d}q,\\那么\mathrm{d}q=\rho\mathrm{d}V=\rho\vec{v}\mathrm{d}\vec{S}=\rho v\mathrm{d}S(因为垂直流过)\\ \therefore \vec{J}=\rho\vec{v}\ (将\mathrm{d}\vec{S}除到\mathrm{d}q下面)

不同带电粒子混合运动可分别求出各自电流密度矢量再叠加

3.面电流和线电流

面分布电流是在无厚度薄板(曲面)上定向流动的电流，可以通过一根横截的线来确定其密度矢量

面电流密度矢量(刚才是体电流密度):JS⃗=et⃗didl,et⃗是薄板内电流切线方向,dl是横截方向的类似地, JS⃗=ρSv⃗面电流密度矢量(刚才是体电流密度):\\ \vec{J_S}=\vec{e_t}\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}l},\\\vec{e_t}是薄板内电流切线方向,\mathrm{d}l是横截方向的\\ \\ 类似地,\ \vec{J_S}=\rho_S\vec{v}

线电流: i=ρlv⃗线电流:\ i=\rho_l\vec{v}

4.电流元

线电流元(1根): idl⃗面电流元(横截线沿电流方向拉成一个面元): JS⃗dS体电流元(横截面沿电流方向拉成体积元): J⃗dS线电流元(1根):\ i\mathrm{d}\vec{l}\\ 面电流元(横截线沿电流方向拉成一个面元):\ \vec{J_S}\mathrm{d}S\\ 体电流元(横截面沿电流方向拉成体积元):\ \vec{J}\mathrm{d}S

2.1.3电荷守恒定律与电流连续性方程

∮SJ⃗⋅dS=−dqdt=−ddt∫VρdV=−∫V∂ρ∂tdV又高斯定理:∮SJ⃗dS=∫V∇⋅J⃗dV整理可得,∫V∇⋅J⃗+∂ρ∂tdV=0进而∇⋅J⃗+∂ρ∂t=0特别地,对于恒定电流,∇⋅J⃗=0\oint_S\vec{J}\cdot\mathrm{d}S=-\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_V\rho\mathrm{d}V\\ =-\int_V\frac{\partial\rho}{\partial t}\mathrm{d}V \\又高斯定理:\oint_S\vec{J}\mathrm{d}S=\int_V\nabla\cdot\vec{J}\mathrm{d}V\\ 整理可得,\int_V\nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial\rho}{\partial t}\mathrm{d}V=0\\ 进而\nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0\\ 特别地,对于恒定电流,\nabla\cdot\vec{J}=0

上式告诉我们，恒定电流下任意闭合曲面的电流密度通量为0，散度为0，恒定电流线永远闭合，恒定电流若存在，则一定在闭合回路中。(恒定电流线和磁感线相互交链，都是闭合线)

2.2真空中静电场的基本规律

2.2.1库仑定律 电场强度

1.电场强度通过电场力确定

E⃗=F⃗q0, q0为一足够小电荷库仑力:F12⃗=e12⃗q1q24πϵ0R122=q1q2R12⃗4πϵ0R123(上下同乘一个R12,带着方向)\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0},\ q_0为一足够小电荷\\ 库仑力:\vec{F_{12}}=\vec{e_{12}}\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0R_{12}^2}=\frac{q_1q_2\vec{R_{12}}}{4\pi\epsilon_0R_{12}^3}(上下同乘一个R_{12},带着方向)

库仑力的方向由1指向2，若多个电荷对某电荷作用，满足矢量叠加

如果不是点电荷，是线电荷或面电荷，就通过对密度积分得到

E⃗=14πϵ0∫SR⃗R3ρSdSE⃗=14πϵ0∫lR⃗R3ρldl\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_S\frac{\vec{R}}{R^3}\rho_S\mathrm{d}S\\ \vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_l\frac{\vec{R}}{R^3}\rho_l\mathrm{d}l

2.电偶极矩

电偶极子是相距很小距离为dd的两个等值异号的点电荷组成的电荷系统，为了方便描述其特征，引入电偶极矩

p⃗=ez⃗p=ez⃗qd\vec{p}=\vec{e_z}p=\vec{e_z}qd

其中ez⃗\vec{e_z}表示从负电荷指向正电荷

2.2.2静电场的散度与旋度

1.静电场高斯定理微分形式

∇⋅E⃗=ρϵ0\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}

2.静电场高斯定理积分形式

∫V∇⋅E⃗dV=∮SE⃗dS=1ϵ0∫VρdV\int_V\nabla\cdot\vec{E}\mathrm{d}V=\oint_S\vec{E}\mathrm{d}S=\frac{1}{\epsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V

解题步骤: 取高斯闭合面，计算面内电荷，根据对称性求电场的面积分，解出电场强度

3.静电场的旋度为0

∇×E⃗=0∫S∇×E⃗⋅dS⃗=∮CE⃗dl⃗=0\nabla\times\vec{E}=0\\ \int_S\nabla\times\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\oint_C\vec{E}\mathrm{d}\vec{l}=0

这说明静电场是保守场，曲线积分与路径无关，只与始末位置有关

2.3真空中恒定磁场的基本规律

2.3.1安培力定律 磁感应强度

1.磁感应强度通过磁场力确定

∵Fm⃗=q0v⃗×B⃗\because\vec{F_m}=q_0\vec{v}\times\vec{B}

令电荷运动方向与磁场方向垂直，此时可以解出磁感应强度(一般情况下解不出矢量方程)

B=lim⁡q0→0Fmmaxq0vB=\lim_{q_0 \to 0}\frac{F_{mmax}}{q_0v}

方向由磁场力公式确定

取微元替代极限形式，可以得到电流元受力

dqv⃗=dqdl⃗dt=dl⃗dqdt=Idl⃗dFm⃗=Idl⃗×B⃗\mathrm{d}q\vec{v}=\mathrm{d}q\frac{\mathrm{d}\vec{l}}{\mathrm{d}t}=\mathrm{d}\vec{l}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=I\mathrm{d}\vec{l}\\ \mathrm{d}\vec{F_m}=I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{B}

2.电流元之间的作用力

dF12⃗=μ04πI2dl2⃗×(I1dl1×R12⃗⃗)R123观察上式,I2当成源点,I1当成场点,那么提取出I1处磁感应强度就是下文公式\mathrm{d}\vec{F_{12}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I_2\mathrm{d}\vec{l_2}\times(I_1\mathrm{d}\vec{l_1\times\vec{R_{12}}})}{R_{12}^3}\\ 观察上式,I_2当成源点,I_1当成场点,那么提取出I_1处磁感应强度就是下文公式

3.毕奥-萨伐尔定律

dB12⃗=μ04πI1dl1⃗×R12⃗R123代表回路的一段电流元在R12⃗确定的空间中某位置产生的磁感应强度B⃗=μ04π∮CIdl⃗×R⃗R3代表整个回路在该位置产生的磁感应强度\mathrm{d}\vec{B_{12}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I_1\mathrm{d}\vec{l_1}\times\vec{R_{12}}}{R_{12}^3}\\代表回路的一段电流元在\vec{R_{12}}确定的空间中某位置产生的磁感应强度 \\\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_C\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{R}}{R^3}\\代表整个回路在该位置产生的磁感应强度

可与场强公式类比，如果电流流经实体或面而非回路，则电流元使用公式(6)(6)所示的形式，回路积分变为面积分或体积分。整个公式体系仍然和静电场很相似

2.3.2恒定磁场的散度与旋度

1.磁感应强度的散度恒为0

∇⋅B⃗=0∫V∇⋅B⃗dV=∮SB⃗⋅dS⃗=0\nabla\cdot\vec{B}=0\\ \int_V\nabla\cdot\vec{B}\mathrm{d}V=\oint_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=0

2.恒定磁场的旋度和安培环流定理

∇×B⃗=μ0J⃗∫S∇×B⃗⋅dS⃗=μ0∫SJ⃗⋅dS⃗=μ0I又斯托克斯定理∫S∇×B⃗⋅dS⃗=∮CB⃗⋅dl⃗∴∮CB⃗⋅dl⃗=μ0I\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}\\ \int_S\nabla\times\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\mu_0\int_S\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\mu_0I\\ 又斯托克斯定理\int_S\nabla\times\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\oint_C\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l}\\ \therefore\oint_C\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\mu_0I

解题步骤: 选取环路，对称性得到磁感应强度的环路积分，通过电流密度确定环路包括的总电流，解方程得到磁感应强度

2.4媒质的电磁特性

2.4.1电介质的极化特性

1.电介质的极化

组成物质的微粒在外电场作用下正负电荷不再重合，产生偏移，可近似看成一系列同向的电偶极子，极化形成电偶极子的电荷叫极化电荷

真正的电场强度是外电场和极化电场叠加(极化电场抵消一部分外电场)E⃗=E0⃗+EP⃗真正的电场强度是外电场和极化电场叠加(极化电场抵消一部分外电场)\\ \vec{E}=\vec{E_0}+\vec{E_P}

极化强度矢量描述的是电偶极子的密度

P⃗=lim⁡ΔV→0∑ipi⃗ΔV\vec{P}=\lim_{\Delta V\to0}\frac{\sum_i\vec{p_i}}{\Delta V}

我们沿电偶极矩方向取一段的线元dl⃗\mathrm{d}\vec{l}，再选取一个任意方向的面元dS⃗\mathrm{d}\vec{S}构成一个斜圆柱或直圆柱微元量。

handwriting

我们如何统计穿过某面的电偶极子数量呢？选择一个面，和一条和电偶极子一样长的线段作为高构成一个几何体，显然，这个柱体内负电荷的数量就是穿过右边这个面电偶极子的个数。

handwriting 2

因为只有刚刚好和电偶极矩一样长的圆柱才会保证: 如果圆柱体内存在负电荷，那么这个电偶极子就一定会穿过给定面，既不会出现将整个电偶极子包进去的情况，又不会出现电偶极子同时穿过圆柱两个圆面的情况。

设单位体积分子数(电偶极子数)为NN，则穿过该面的电偶极子数量可以平移后完全充满给定圆柱。

handwriting 3

因此，原来穿过这个面的电偶极子数量n1n_1和通过平移电偶极子使得这个圆柱体刚好充满电偶极子且电偶极子不穿出任何面时，圆柱体中电偶极子的数量n2n_2是相等的。利用这一点，我们可以表达出n1=n2=NVn_1=n_2=NV，VV是圆柱体体积。

如果电偶极子穿过了这个面，那么电偶极子一半留在圆柱内，一半在圆柱外，设圆柱外是电偶极子的正电荷，圆柱内是电偶极子的负电荷，设电偶极子正负电荷为+q+q和−q-q，则极化电荷为qq，那么总的经过该面的极化电荷就是单个极化电荷乘电偶极子总数，也就是n1q=NVq=Nql⃗⋅dS⃗n_1q=NVq=Nq\vec{l}\cdot\mathrm{d}\vec{S}，需要说明的是，只有圆面取的是微元，那条线段不是微元，并且由于可能出现斜圆柱，因此用数量积表示圆柱体积(求斜圆柱的体积，需要将斜高投影到圆面法向量的方向得到真正的高)。进一步，结合p⃗=ql⃗,N=n/V圆柱\vec{p}=q\vec{l}, N=n/V_{圆柱}我们有

Nql⃗⋅dS⃗=np⃗V圆柱⋅dS⃗=P⃗⋅dS⃗=P⃗⋅en⃗dS(en⃗为面元单位法向量)Nq\vec{l}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{n\vec{p}}{V_{圆柱}}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\\=\vec{P}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\\=\vec{P}\cdot\vec{e_n}\mathrm{d}S(\vec{e_n}为面元单位法向量)

因此，推广到整个闭合曲面，穿出的极化电荷就为

∮SP⃗⋅dS⃗\oint_S\vec{P}\cdot\mathrm{d}\vec{S}

留在曲面内的极化电荷就为穿出的极化电荷的相反数(被完全包在曲面内的电偶极子正负电荷抵消，只计算穿过曲面的那些电偶极子留在曲面内的那部分)

q=−∮SP⃗⋅dS⃗=−∫V∇⋅P⃗dV(高斯定理)q=-\oint_S\vec{P}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=-\int_V\nabla\cdot\vec{P}\mathrm{d}V(高斯定理)

又因为

q=∫VρpdVq=\int_V\rho_p\mathrm{d}V

因此

ρP=−∇⋅P⃗\rho_P=-\nabla\cdot\vec{P}

如果在物体表面选取一块面积微元，那么表面电荷面密度就等于面积微元穿出的总的极化电荷除以面积，

ρSP=P⃗⋅en⃗\rho_{SP}=\vec{P}\cdot\vec{e_n}

这告诉我们，物体表面的电荷分布不但与外加电场(由P⃗\vec{P}方向确定)有关，也与表面形状有关(由en⃗\vec{e_n}确定)

2.电介质中的静电场基本方程

如果空间中存在电介质，那么空间电场由自由电荷在真空中的电场和极化电荷产生的电场相叠加

∮SE⃗⋅dS⃗=1ϵ0(q+qP)\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{1}{\epsilon_0}(q+q_P)

而根据极化电荷公式，

∮SE⃗⋅dS⃗=1ϵ0(q+qP)=1ϵ0(q−∮SP⃗⋅dS⃗)\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{1}{\epsilon_0}(q+q_P)=\frac{1}{\epsilon_0}(q-\oint_S\vec{P}\cdot\mathrm{d}\vec{S})

整理可得，

∮S(ϵ0E⃗+P⃗)⋅dS⃗=q\oint_S(\epsilon_0\vec{E}+\vec{P})\cdot\mathrm{d}\vec{S}=q

其中D⃗=ϵ0E⃗+P⃗\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}为电位移矢量

∮SD⃗⋅dS⃗=∫V∇⋅D⃗dV=q=∫VρdV\oint_S\vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_V\nabla\cdot\vec{D}\mathrm{d}V=q=\int_V\rho\mathrm{d}V

因此

∇⋅D⃗=ρ\nabla\cdot\vec{D}=\rho

3.电介质的本构关系

P⃗=ϵ0χeE⃗\vec{P}=\epsilon_0\chi_e\vec{E}

这意味着极化强度与电极化率χe\chi_e与电场强度都有关

综合来看，

D⃗=ϵ0E⃗+χeϵ0E⃗=(1+χe)ϵ0E⃗=ϵrϵ0E⃗=ϵE⃗, ϵr=1+χe称为相对介电常数\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\chi_e\epsilon_0\vec{E}\\ =(1+\chi_e)\epsilon_0\vec{E}\\ =\epsilon_r\epsilon_0\vec{E}=\epsilon\vec{E},\\\ \epsilon_r=1+\chi_e称为相对介电常数

2.4.2磁介质的磁化特性

1.磁介质的磁化

分子磁矩

pm⃗=iΔS⃗, i为分子中电子运动形成的电流,ΔS⃗为电流环所在平面, 方向取法向\vec{p_m}=i\Delta\vec{S},\ i为分子中电子运动形成的电流,\\ \Delta\vec{S}为电流环所在平面,\ 方向取法向

磁化强度矢量

M⃗=lim⁡ΔV→0∑ipmi⃗ΔV\vec{M}=\lim_{\Delta V \to 0}\frac{\sum_i\vec{p_{mi}}}{\Delta V}

表示的是分子磁矩的密度

现在，我们取一个空间回路，回路形成曲面，再来计算穿过这个曲面的总电流，内部的分子电流环同时穿入穿出曲面，外部的分子电流环没有穿过曲面，因此只有横跨曲面内外、与曲面边界线交链的一系列电流有贡献。这次我们沿大回路取线元dl⃗\mathrm{d}\vec{l}，按照分子电流环相同的大小和方向取圆面积ΔS⃗\Delta \vec{S}(红色)，只有按照这个大小和方向选取圆面积，才能保证只要分子电流环中心在ΔS⃗\Delta\vec{S}内，那么这个电流环就一定与回路交链，如图

handwriting 4

过小或过大都不便于我们统计与回路交链的分子电流数，只有选取的ΔS⃗\Delta\vec{S}刚好和分子电流等大，我们只需要统计磁矩(黑色箭头)落在ΔS⃗\Delta\vec{S}内的个数n1n_1，就可以直接转化为和回路交链的分子电流个数n2n_2，n1=n2n_1=n_2。考虑分子磁矩均匀分布且大小相等，我们可以很方便的表达出选取圆柱体区域内分子磁矩的总数

n=NV=Ndl⃗⋅ΔS⃗n=NV=N\mathrm{d}\vec{l}\cdot\Delta\vec{S}

每个磁矩都对应一个分子电流，因此选取圆柱内总电流就为

dIM=ni=NiΔS⃗⋅dl⃗=Npm⃗⋅dl⃗\mathrm{d}I_M=ni=Ni\Delta\vec{S}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=N\vec{p_m}\cdot\mathrm{d}\vec{l}

又由于

N=n/V圆柱N=n/V_{圆柱}

因此总的穿过ΔS⃗\Delta\vec{S}的电流就为

npm⃗⋅dl⃗/V圆柱=∑ipmi⃗V圆柱⋅dl⃗=M⃗⋅dl⃗n\vec{p_m}\cdot\mathrm{d}\vec{l}/V_{圆柱}=\frac{\sum_i\vec{p_{mi}}}{V_{圆柱}}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\vec{M}\cdot\mathrm{d}\vec{l}

回路的每一段dl⃗\mathrm{d}\vec{l}都有dI\mathrm{d}I的电流与之交链，因此与整个回路交链的电流就为

∮CdIM=∮CM⃗⋅dl⃗=∫S∇×M⃗⋅dS⃗(斯托克斯定理)\oint_C\mathrm{d}I_M=\oint_C\vec{M}\cdot\mathrm{d}\vec{l}\\ =\int_S\nabla\times\vec{M}\cdot\mathrm{d}\vec{S}(斯托克斯定理)

又由于电流可以用电流密度表示，因此可以得到磁化电流密度的表达式

∵IM=∫SJM⃗⋅dS⃗∴∇×M⃗=JM⃗\because I_M=\int_S \vec{J_M}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\\ \therefore \nabla\times\vec{M}=\vec{J_M}

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物体内部的若干分子电流(蓝色)相互之间都可以抵消，宏观上看就好像只有物体表面有电流环绕，下面求一下磁化面电流密度

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在表面取一横截线dl⃗\mathrm{d}\vec{l}，取电流切线单位矢量et⃗\vec{e_t}，用点表示一个垂直表面向外的单位法向量en⃗\vec{e_n}，提取横截线方向: dl⃗=el⃗dl\mathrm{d}\vec{l}=\vec{e_l}\mathrm{d}l，则en⃗, et⃗, el⃗\vec{e_n},\ \vec{e_t},\ \vec{e_l}成正交右手系如图

则与横截线交链的电流为

dIM=M⃗⋅dl⃗=M⃗⋅(en⃗×et⃗)dl=(M⃗×en⃗)⋅et⃗dl(混合积性质)\mathrm{d}I_M=\vec{M}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\vec{M}\cdot(\vec{e_n}\times\vec{e_t})\mathrm{d}l=(\vec{M}\times\vec{e_n})\cdot\vec{e_t}\mathrm{d}l(混合积性质)

由于面电流密度定义为

JS⃗=et⃗dIdl\vec{J_S}=\vec{e_t}\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}l}

结合一下，可得

JSM⃗=M⃗×en⃗\vec{J_{SM}}=\vec{M}\times\vec{e_n}

2.磁介质中恒定磁场的基本方程

实际磁感应强度等于真空中的磁感应强度加磁化的磁感应强度(增强)

B⃗=B0⃗+BM⃗\vec{B}=\vec{B_0}+\vec{B_M}

根据安培环路定律，

∮CB⃗⋅dl⃗=μ0(I+IM)\oint_C\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\mu_0(I+I_M)

结合磁化电流

IM=∮CM⃗⋅dl⃗I_M=\oint_C\vec{M}\cdot\mathrm{d}\vec{l}

整理得到

∮C(1μ0B⃗−M⃗)⋅dl⃗=I,I称为传导电流令H⃗=1μ0B⃗−M⃗称为磁场强度\oint_C(\frac{1}{\mu_0}\vec{B}-\vec{M})\cdot\mathrm{d}\vec{l}=I,\\ I称为传导电流\\ 令\vec{H}=\frac{1}{\mu_0}\vec{B}-\vec{M}称为磁场强度

进而得到磁场强度和传导电流的关系

∮CH⃗⋅dl⃗=I=∫S(∇×H⃗)⋅dS⃗\oint_C\vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=I=\int_S(\nabla\times\vec{H})\cdot\mathrm{d}\vec{S}

结合体分布电流密度矢量定义

I=∫SJ⃗⋅dS⃗I=\int_S\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}

得到介质中安培环路定理微分形式

∇×H⃗=J⃗\nabla\times\vec{H}=\vec{J}

3.磁介质的本构关系

M⃗=χmH⃗\vec{M}=\chi_m\vec{H}

结合磁场强度公式

H⃗=1μ0B⃗−M⃗=1μ0B⃗−χmH⃗∴B⃗=(1+χm)μ0H⃗=μrμ0H⃗=μH⃗其中χm称为磁化率，μr=1+χm称为相对磁导率，μ称为磁导率\vec{H}=\frac{1}{\mu_0}\vec{B}-\vec{M}=\frac{1}{\mu_0}\vec{B}-\chi_m\vec{H}\\ \therefore\vec{B}=(1+\chi_m)\mu_0\vec{H}=\mu_r\mu_0\vec{H}=\mu\vec{H}\\ 其中\chi_m称为磁化率，\mu_r=1+\chi_m称为相对磁导率，\mu称为磁导率

2.4.3导电媒质的导电特性

导电媒质内，

J⃗=σE⃗\vec{J}=\sigma\vec{E}

σ\sigma称为电导率，单位S/mS/m，上式也称欧姆定律的微分形式

2.5电磁感应定律和位移电流

2.5.1法拉第电磁感应定律

感应电动势与磁通量变化率成正比(反向)

Ein=−dΦdt=−ddt∫SB⃗⋅dS⃗\mathscr{E}_{in}=-\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}

又根据电势和场强的关系

Ein=∮CEin⃗⋅dl⃗\mathscr{E}_{in}=\oint_C\vec{E_{in}}\cdot\mathrm{d}\vec{l}

因此

∮CEin⃗⋅dl⃗=−ddt∫SB⃗⋅dS⃗\oint_C\vec{E_{in}}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}

由于自由电荷的电场在闭合回路线积分为0，因此在自由电荷激发电场和感应电场叠加的情况下，总的电场强度仍满足式(59)(59)的关系

∮CE⃗⋅dl⃗=−ddt∫SB⃗⋅dS⃗=∫S∇×E⃗⋅dS⃗(斯托克斯定理)\oint_C\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_S\nabla\times\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}(斯托克斯定理)

产生感应电动势的条件是要么回路移动使磁通量改变，要么是时变场使磁通量改变，特别地，我们考虑静止回路在时变场中的情形

−ddt∫SB⃗⋅dS⃗=−∫S∂B⃗∂t⋅dS⃗-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=-\int_S\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\vec{S}

可以得到

∇×E⃗=−∂B⃗∂t\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}

如回路也在运动，本质上是磁通量的面积微元发生变化

在dt\mathrm{d}t时间内，磁感线穿过的面积变化量为扫过的面积，对回路取线元dl⃗\mathrm{d}\vec{l}，线元沿某方向可以扫出一个面积，v⃗×dl⃗dt\vec{v}\times\mathrm{d}\vec{l}\mathrm{d}t，方向为线元和扫过位移张成的平行四边形的法向量，大小为平行四边形面积(叉乘的模长表示两邻边构成平行四边形的面积)，因此

dΦ=∫B⃗⋅dS⃗=∫B⃗⋅(v⃗×dl⃗)dt=−∮C(v⃗dt×B⃗)⋅dl⃗∴Ein=∮C(v⃗×B⃗)⋅dl⃗\mathrm{d}\Phi=\int\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int\vec{B}\cdot(\vec{v}\times\mathrm{d}\vec{l})\mathrm{d}t\\ =-\oint_C(\vec{v}\mathrm{d}t\times\vec{B})\cdot\mathrm{d}\vec{l}\\ \therefore\mathscr{E_{in}}=\oint_C(\vec{v}\times\vec{B})\cdot\mathrm{d}\vec{l}

补充说明一下，线元和位移元相乘得到二阶微元，对线元积分一次正好得到一阶微元，其中线元的微分量被积完，只剩下位移的微分量。再补充说明一下，向量混合积具有轮换对称性，向量积交换添负号，数量积交换结果不变。读者可自行探究负号是怎么来的。

如果既存在时变场，回路又在运动，那么磁通量变化应该是两部分贡献的算术和

Ein总=∮CE⃗⋅dl⃗=−∫S∂B⃗∂t⋅dS⃗+∮C(v⃗×B⃗)⋅dl⃗∴∫S∇×E⃗⋅dS⃗=−∫S∂B⃗∂t⋅dS⃗+∫S[∇×(v⃗×B⃗)]⋅dS⃗\mathscr{E}_{in总}=\oint_C\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}\\ =-\int_S\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\vec{S}+\oint_C(\vec{v}\times\vec{B})\cdot\mathrm{d}\vec{l}\\ \therefore\int_S\nabla\times\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=-\int_S\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\vec{S}+\int_S[\nabla\times(\vec{v}\times\vec{B})]\cdot\mathrm{d}\vec{S}

进而得到完整版法拉第电磁感应定律，且微分形式也可以直接读出

∇×E⃗=−∂B⃗∂t+∇×(v⃗×B⃗)\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}+\nabla\times(\vec{v}\times\vec{B})

第一项是贡献了感生电动势，第二项贡献了动生电动势

2.5.2位移电流

时变场我们有

∇⋅J⃗=−∂ρ∂t\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}

由高斯定理

ρ=∇⋅D⃗\rho=\nabla\cdot\vec{D}

代入上式

∇⋅J⃗=−∇⋅∂D⃗∂t\nabla\cdot\vec{J}=-\nabla\cdot\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}

整理可得

J⃗+∂D⃗∂t=0其中∂D⃗∂t=JD⃗称为位移电流密度\vec{J}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}=0\\ 其中\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}=\vec{J_D}称为位移电流密度

根据安培环路定律微分形式，如果是时变场需要我们在右侧电流密度加上位移电流密度，得到安培环路定律完整版

∇×H⃗=J⃗+∂D⃗∂t\nabla\times\vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}

在闭合曲线积分，利用斯托克斯定理可以去除旋度

∮CH⃗⋅dl⃗=∫S(J⃗+∂D⃗∂t)⋅dS⃗\oint_C\vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\int_S(\vec{J}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t})\cdot\mathrm{d}\vec{S}

得到安培环路定理积分形式。

后面打算出一个连带麦克斯韦方程组以及所有其他公式的关系图。在这篇文章暂时不涉及。